\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 실수 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f_n(a)\)라 할 때, \[f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n))\] 의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 하자. \(2\) 이상의 자연수 \(k\)에 대하여 두 함수 \(y = \log_M(x+k)+m\), \(y = \log_M(-x+k)+m\)의 그래프의 교점을 \(A\)라 하고, 삼각형 \(ABC\)가 정삼각형이 되도록 하는 \(x\)축 위의 서로 다른 두 점을 \(B\), \(C\)라 할 때, \(\sqrt{3} \lt \overline{BC} \lt 2\sqrt{3}\)을 만족시키는 \(k\)의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

등비수열 \(\{a_n\}\)과 수열 \(\{b_n\}\)이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(0 \lt a_1 \lt \frac{\pi}{2}\), \(0 \lt a_2 \lt \frac{\pi}{2}\) 이고 \(\tan a_1 = \frac{3}{4}\), \(\tan a_2 = \frac{1}{3}\) 이다.
(나) \(\tan b_1 = \frac{1}{4}\)
(다) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(0 \lt b_n \lt \frac{\pi}{2}\) 이고 \((1 - \tan a_n \tan b_n) \tan b_{n+1} = \tan a_n + \tan b_n\) 이다.
\(\lim_{n \to \infty} b_n = b\)라 할 때, \(\tan b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 \(a\)에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, \(f'(a)\)와 \(\int_{0}^{2a} f(x) dx\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a \gt 1\))
(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) + f(2a-x) = 2a^2\) 이다.
(나) \(\int_{0}^{2a} \{f(x) - x\} dx = 36\)
(다) \(\int_{-1}^{1} (x+5)^2 f(x+a) dx = 440\)

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 두 실수 \(a, b\)와 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[f(x) + \frac{2}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}f(x)\right) = \frac{a e^x - b}{e^x + 1}\] 를 만족시킨다. 첫째항이 \(4a^3 - 13a^2 + 12a - 2\) 이고 공비가 \(\frac{1}{3}b^3 - \frac{3}{2}b^2 + 2b\) 인 모든 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a \ge 0, b \ge 0\))

첫째항이 \(0\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-k} \times k \times (n-k+1)^2\] 이다. \(\sum_{k=1}^{m} a_k = -78\) 일 때, 자연수 \(m\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

두 상수 \(a, b\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = \frac{x^3 + a x^2 + b x}{e^x}\) 라 하자. 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(x) = |t - f(x)|\)가 \(x=p\)에서 미분가능하지 않은 실수 \(p\)의 개수를 \(h(t)\)라 할 때, 함수 \(h(t)\)는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 \(h(t)\)가 \(t=k\)에서 불연속인 실수 \(k\)의 값은 \(2\)개이다.
(나) \(\lim_{t \to 0^+} h(t) + \lim_{t \to 0^-} h(t) + h(0) = 3\)
집합 \(A = \{\alpha \mid \text{점 } (\alpha, f(\alpha))\text{는 곡선 } y=f(x)\text{의 변곡점}, \alpha\text{는 실수}\}\)의 서로 다른 두 원소 \(\alpha, \beta\)에 대하여 \(f'(\alpha) \times f'(\beta)\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\))

네 수열 \(\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}, \{d_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[a_{n+1} = \frac{a_n^2+2}{2a_n}, \quad b_n = \frac{a_n-\sqrt{2}}{a_n+\sqrt{2}}, \quad c_{n+1} = \frac{c_n+2}{c_n+1}, \quad d_n = \frac{c_n-\sqrt{2}}{c_n+\sqrt{2}}\] 을 만족시킨다. \(b_8 = (b_1)^p, d_8 = (d_1)^q, a_8 = c_m\) 일 때, 자연수 \(p, q, m\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a_1 = c_1 = 1\))

2026학년도 수학Ⅱ - 접선의 방정식, 최댓값과 최솟값 난이도: 의예과형 독자출제 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

2026학년도 모의논술 수학 I, 수학 II, 미적분 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 50분

2026학년도 모의논술 수학 I ⏱️ 예상 소요 시간: 10분 / 전체 50분

2026학년도 모의논술 미적분 ⏱️ 예상 소요 시간: 15분 / 전체 50분

2026학년도 모의논술 수학 II ⏱️ 예상 소요 시간: 10분 / 전체 50분

그림과 같이 자연수 \(n\)에 대하여 직각삼각형 \(AB_0C_0\)의 선분 \(AB_0\) 위의 점 \(B_n\)과 선분 \(AC_0\) 위의 점 \(C_n\)을 다음 규칙에 따라 정한다.
(가) \(\angle C_0 = \frac{\pi}{2}\), \(\angle B_0 = \frac{5}{12}\pi\), \(\overline{B_0C_0} = 6\)
(나) 선분 \(B_0C_0\)을 지름으로 하는 반원을 \(G_0\)이라 하고, \(G_0\)이 선분 \(AB_0\)와 만나는 점 중 \(B_0\)이 아닌 점이 \(B_1\)이다. 점 \(B_1\)을 지나면서 선분 \(B_0C_0\)와 평행한 직선이 선분 \(AC_0\)와 만나는 점이 \(C_1\)이다.
(다) 선분 \(B_1C_1\)을 지름으로 하는 반원을 \(G_1\)이라 하고, \(G_1\)이 선분 \(AB_1\)과 만나는 점 중 \(B_1\)이 아닌 점이 \(B_2\)이다. 점 \(B_2\)을 지나면서 선분 \(B_1C_1\)과 평행한 직선이 선분 \(AC_1\)과 만나는 점이 \(C_2\)이다.
(라) 선분 \(B_nC_n\)을 지름으로 하는 반원을 \(G_n\)이라 하고, \(G_n\)이 선분 \(AB_n\)과 만나는 점 중 \(B_n\)이 아닌 점이 \(B_{n+1}\)이다. 점 \(B_{n+1}\)을 지나면서 선분 \(B_nC_n\)과 평행한 직선이 선분 \(AC_n\)과 만나는 점이 \(C_{n+1}\)이다.
반원 \(G_{n-1}\)에서 호 \(B_{n-1}B_n\)과 선분 \(B_{n-1}B_n\)으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(T_{n-1}\)이라 하자. \(\sum_{k=0}^{\infty} T_k = (p + q\sqrt{3})\left(\frac{\pi}{3} - 1\right)\)일 때, 유리수 \(p\)와 \(q\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(\lim_{n\to \infty} \left\{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \ln n - \frac{4}{n^4} \sum_{k=1}^{n} k^3 \ln(k+n) \right\}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x) = \ln(ax)\)의 그래프와 이차함수 \(g(x) = b^2 x^2 - bx + 1\)의 그래프가 한 점 \(P(\alpha, \beta)\)에서만 만나고 \(f'(\alpha) = g'(\alpha)\)이다. 기울기가 음수이고 점 \(P\) 를 지나는 직선이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 하자. 선분 \(AB\)의 길이의 최솟값이 \(8\)일 때, \(ab\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, b\)는 양수이다.)

자연수 \(n\)에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(0 \lt x \le n\)일 때, 어떤 정수 \(m\)에 대하여 \(m \le \log_7(3x+1) \lt m+1\)이면 \(f(x) = m\)이다.
(나) 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x+n) = f(x)\)이다.
열린구간 \((0, 2025)\)에 속하는 \(x = c\)에서 함수 \(f(x)\)가 불연속일 때, \(c\)의 개수가 \(k\)가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\) 중 최댓값을 \(a_k\)라 하자. \(a_7, a_{13}, a_{19}, a_{25}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 다음을 만족한다.
(가) \(f(0) = \frac{\pi}{2}\) 이고, 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(f(a_n) = 2n\pi + \frac{\pi}{2}\) 를 만족시킨다.
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \gt 0\)이고, \(f'(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
(다) 자연수 \(n\)에 대하여 \(2(n-1)\pi + \frac{\pi}{2} \le f(x) \le 2n\pi - \frac{\pi}{2}\) 일 때, \(f'(x) \ge \frac{1}{2+\cos f(x)}\) 이고, \(2n\pi - \frac{\pi}{2} \le f(x) \le 2n\pi + \frac{\pi}{2}\) 일 때, \(f'(x) \le \frac{1}{2+\cos f(x)}\) 이다.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x) \gt 0\)와 \(g(x) = 1 - \int_{0}^{x} g(t)\cos f(t)dt\)를 만족시킬 때, \(\lim_{n\to \infty} g(a_n)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3 & (x \le 0) \\ -(x+1)^2 e^{-x} + a & (x \gt 0) \end{cases}\) 에 대하여 함수 \(y = |f(x)|\)의 그래프와 직선 \(y = t\)가 만나는 서로 다른 점의 개수를 \(h(t)\)라 하면, \(\lim_{t\to k^-} h(t) - \lim_{t\to k^+} h(t) \gt 2\)를 만족시키는 상수 \(k\)가 존재하도록 하는 모든 양수 \(a\)의 개수는 \(n\)이다. 이러한 \(n\)개의 양수 \(a\)의 값을 작은 수부터 차례로 \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) 이라 하고, \(a = a_1\) 일 때, 실수 \(m\)에 대하여 \(\lim_{t\to m^-} h(t) + \lim_{t\to m^+} h(t)\)의 최댓값을 \(M\) 이라 하자. \(M\) 과 \(\sum_{k=1}^{n} a_k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(n\)은 자연수이다.)

\(\overline{AB} = 3\), \(\overline{BC} = 4\), \(\angle B = \frac{\pi}{2}\) 인 직각삼각형 \(ABC\) 에서 선분 \(BC\) 를 \(1 : a\)로 내분하는 점을 \(P\), 선분 \(CA\)를 \(1 : a\)로 내분하는 점을 \(Q\)라 하자. \(\overline{AP} = \overline{PQ}\)일 때, \(\cos(\angle APQ)\)의 값과 삼각형 \(APQ\)의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 양수이다.)

2025학년도 수학 II - 입체도형의 부피 난이도: 최상 ⏱️ 예상 소요 시간: 8분 / 전체 80분

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